Berechnung Stichprobenumfang bei SPC Karten

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mikala
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30. Januar 2014 um 16:44 Uhr

Beitragsanzahl: 3

#25011

Hallo zusammen, Hallo Barbara,

ich bin durch Zufall, auf der Suche nach der Möglichkeit einer Stichprobenberechnung, hier in Forum gelandet und habe bereits einige Beiträge mit großem Interesse verfolgt.

Nun habe ich natürlich, neugierig wie ich bin, versucht die vielen „Barbaraischen“ Formeln auch anzuwenden.
Leider mit eher verhaltenem erfolg.
Währe super wenn Ihr mir sagen könntet wo in meinen Berechnungen sich die Fehler befinden.
Ich muss allerdings dazu sagen, dass meine Statistikkenntnisse nicht über die einen einfachen QSler hinaus gehen.

Versuchsrechnung Vertrauensbereich aktuelle Stichprobe und ideale Stichprobengröße

Merkmal: Pressfit K5 Y-Lage 1,27mm ME1
Sollmaß: 1,27 mm
Toleranz: 0,125 mm
-0,125 mm
Median: 1,301 mm
s: 0,0208 mm
Cpk: 1,51
Stichproben: 4 a 100Teile Produktion

1.Genauigkeit der Mittelwert-Kennzahl

Die Basis zur Berechnung des notwendigen Stichprobenumfangs ist die Formel für den Vertrauensbereich des Mittelwerts:
xquer +/- z_(1-alpha/2)*S/Wurzel(n)

Der Vertrauensbereich berechnet sich aus diversen Kennzahlen:
xquer: Mittelwert (aus Stichprobe)
S: Standardabweichung (aus vorhandenen Prozessdaten)
alpha: maximal tolerierbares Risiko für einen Fehlalarm (aus Risiko-Abschätzung), Standardwert 5%
n: Stichprobenumfang 1 Stichprobe

4 Aktueller Stichprobenumfang n
0,0208 Standardabweichung (aus vorhandenen Prozessdaten)
5,00% alpha: maximal tolerierbares Risiko für einen Fehlalarm (aus Risiko-Abschätzung), Standardwert 5%
0,975 1-alpha/2
1,960 Quantil der Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1

Breite des 95%igen Vertrauensbereichs
2*1,96*0,0208/Wurzel(4)
0,0408 mm

Abstand Mittelwert-Grenze Vertrauensbereich
1,96*0,0208/Wurzel(4)
0,0204 mm

Mittelwertüberdeckung mit 95%
1,301±0,0204

2. Absicherung einer Mittelwert-Verschiebung bei bekannter Standardabweichung

0,025 Zulässige Mittelwertverschiebung
5,00% beta: maximal tolerierbares Risiko für Nicht-Entdecken einer Veränderung
0,95 1-beta
1,645 Quantil der Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1

1.Formel
S bekannt:
Formel auf Basis der Normalverteilung (z-Test für 1 Messreihe):
n >= ( ( z_(1-alpha/2) – z_(1-beta) )*s/delta )²

n>=((1,96-1,645)*0,0208/0,025)²
n = 2,66

2. Formel

n>=( ( z_(1-alpha/2) + z_(1-beta) )²*(s/delta )²

n>=(1,96+1,645)²*(0,0208/0,025)²
n = 9,00

?? und was stimmt jetzt?

3. Absicherung einer Mittelwertverschiebung bei bekannter Standartabweichung gegen kritische Spezifikationsgrenze

5,00% alpha: maximal tolerierbares Risiko für einen Fehlalarm (aus Risiko-Abschätzung), Standardwert 5%
0,975 1-alpha/2
1,960 Quantil der Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1
5,00% beta: maximal tolerierbares Risiko für Nicht-Entdecken einer Veränderung
0,95 1-beta
1,645 Quantil der Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1
0,094 Abstand zur Spezifikationsgrenze

Formel
n >= [ (z_(1-alpha/2)-z_(1-beta))*S / e ]²

n>=[(1,96-1,645)*0,0208/0,094]²
n>= 0,005

und zu guter letzt noch eine andere Überlegung.
3. Absicherung einer Mittelwertverschiebung bei bekannter Standartabweichung gegen kritische Spezifikationsgrenze mit berücksichtigung der Losgröße und der Ziehungshäufigkeit
Macht es überhaupt Sinn die Ziehungshäufigkeit im Bezug zur Los oder Auftragsgröße zu betrachten?
Da, eigentlich es ja „nur“ meine betroffene Menge aber nicht meine qualitative Aussage beeinflusst. oder?

Barbara
Senior Moderator

31. Januar 2014 um 11:39 Uhr

Beitragsanzahl: 2766

#62446

Hallo mikala,

willkommen im QM-Forum [:)]

quote:

Ursprünglich veröffentlicht von mikala

Ich muss allerdings dazu sagen, dass meine Statistikkenntnisse nicht über die einen einfachen QSler hinaus gehen.

Dafür hast Du echt ganz schön viel zusammengetragen!

Also erstmal zu Deinen konkreten Fragen, wo die Formeln und Berechnungen richtig bzw. falsch sind.

quote:

Ursprünglich veröffentlicht von mikala

1.Genauigkeit der Mittelwert-Kennzahl
…
Mittelwertüberdeckung mit 95%
1,301±0,0204

Das ist alles korrekt.

quote:

Ursprünglich veröffentlicht von mikala

2. Absicherung einer Mittelwert-Verschiebung bei bekannter Standardabweichung
…
2. Formel

n>=( ( z_(1-alpha/2) + z_(1-beta) )²*(s/delta )²

n>=(1,96+1,645)²*(0,0208/0,025)²
n = 9,00

Die 2. Formel ist korrekt. Die beiden Formeln unterscheiden sich durch das + bzw. – in der ersten Klammer. Das ^2 lässt sich in die Klammer ziehen: ((a)*(b))² = (a)²*(b)².

Die z-Werte stammen aus der Standard-Normalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1) und geben den Flächenanteil unter der Normalverteilungskurve bis zu einem bestimmten Punkt (alpha/2 bzw. beta) an.

Die Normalverteilung ist symmetrisch, deshalb lassen sich die z-Werte auch schreiben als:
z_(alpha/2) = -z_(1-alpha/2) bzw. z_(1-alpha/2) = -z_(alpha/2)
z_(beta) = -z_(1-beta) bzw. z_(1-beta) = -z_(beta)

Für die erste Klammer ( z_(1-alpha/2) + z_(1-beta) )² ist deswegen:

( z_(1-alpha/2) + z_(1-beta) )²
= ( -z_(alpha/2) + (-z_(beta)) )²
= ( (-1) * ( z_(alpha/2) + z_(beta) ) )²
= (-1)² * ( z_(alpha/2) + z_(beta) )²
= ( z_(alpha/2) + z_(beta) )²

Die Idee hinter der Stichprobenumfangs-Berechnung ist, dass die beiden Risiken (Fehlalarm / Fehler 1. Art alpha & schlecht-Situation-nicht-Entdecken / Fehler 2. Art beta) addiert werden. Das Risiko für einen Fehlalarm hat beim Mittelwert-bekanntes-S-Test den z-Wert z_(alpha/2) und das Risiko fürs Übersehen einer schlechten Situation hat den z-Wert z_(beta).

Was ich bei Deiner Rechnung nicht so ganz verstanden habe ist der Wert 0,025 für das delta (maximal zulässige Mittelwertverschiebung). Hast Du das aus den 3S-Grenzen der Messwertverteilung (Normalverteilung)? Damit würdest Du nur einen Cpk von 1,00 absichern. (Für Cpk=1,33 müssen mindestens +/-4S innerhalb der Toleranz liegen).

quote:

Ursprünglich veröffentlicht von mikala

3. Absicherung einer Mittelwertverschiebung bei bekannter Standartabweichung gegen kritische Spezifikationsgrenze

Diese Formeln sichern ab, dass der Mittelwert innerhalb der Spezifikation liegt. Für die Prozess-Überwachung (SPC) und Prozess-Bewertung (Cpk) sollen dagegen die Einzelwerte innerhalb der Spezifikation liegen.

Die Formel an sich ist korrekt. Bei der Angabe des Stichprobenumfangs muss beachtet werden, dass die Mindest-Anzahl in einer Stichprobe immer 2 ist, d. h. selbst wenn sich rechnerisch ein sehr kleiner Wert für den Stichprobenumfang n ergibt (z. B. n>=0,004), müssen dennoch immer mindestens n=2 Messwerte für eine Stichprobe aufgenommen. (n=1 ist keine Stichprobe mit der sich irgend etwas statistisches anfangen lässt.)

quote:

Ursprünglich veröffentlicht von mikala

und zu guter letzt noch eine andere Überlegung.
3. Absicherung einer Mittelwertverschiebung bei bekannter Standartabweichung gegen kritische Spezifikationsgrenze mit berücksichtigung der Losgröße und der Ziehungshäufigkeit
Macht es überhaupt Sinn die Ziehungshäufigkeit im Bezug zur Los oder Auftragsgröße zu betrachten?
Da, eigentlich es ja „nur“ meine betroffene Menge aber nicht meine qualitative Aussage beeinflusst. oder?

Für die Berechnung des Stichprobenumfangs n ist es völlig egal, wie groß Dein Los oder Auftrag ist. Dabei geht es einzig und allein um die Frage, wie viele Werte/Prüfergebnisse für ein bestimmtes Absicherungsniveau (alpha & beta) vorliegen müssen.

Die Ziehungshäufigkeit hängt deshalb auch nicht von der Losgröße ab, sondern von der Risikobewertung: Wenn tatsächlich etwas im Prozess schlecht läuft, wie lange können wir schlechte Teile produzieren ohne es zu merken bevor es für uns unschön wird (Rückruf, Schrott, Risiken für Anwender, etc.)? Wenn Ihr Katalogware herstellt sieht diese Bewertung anders aus als wenn Ihr Zulieferant für Flugzeugbauer seid [;)]

Mal zur Ausgangsfrage zurück

Grundsätzlich geht es Dir darum, wie viele Teile (n) in einer Stichprobe sein müssen, um eine ausreichend hohe Absicherung der Prozess-Qualität (Cpk>1,33?) zu erreichen, oder? Die hierfür gut anwendbaren Formeln sind die aus der Annahmestichprobenprüfung mit AQL und LQ (NICHT die Normtabellen aus der ISO 3951, die funktionieren anders und sichern den Prozess nicht so ab wie Du das willst).

Für Cpk>1,33 müssen (neben den anderen Voraussetzungen wie normalverteilte Werte, stabiler Prozess, brauchbares Mess-System, etc.) innerhalb der Toleranz mindestens 99,993666% der Einzelwerte/Messwerte liegen, d. h. außerhalb dürfen nur 0,006334% sein. Das ist Dein Abdeckbereich für den Prozess bzw. in Stichproben-Theorie-Sprech das LQ (limiting quality / Grenzqualität bzw. rückzuweisende Qualitätsgrenzlage). Wenn mehr außerhalb der Toleranz liegt, willst Du das wissen.

Aktuell hat der Prozess mit Mittelwert 1,301 und Standardabweichung 0,0208 eine Ausschussrate von 0,000310%. Das lässt sich mit der Normalverteilung für die Toleranzgrenzen UTG=1,145 und OTG=1,395 ausrechnen (Wahrscheinlichkeit für < UTG + Wahrscheinlichkeit für > OTG). Diesen Wert kannst Du als AQL-Wert verwenden (acceptable quality limit / annehmbare Qualitätslage).

Mit einem alpha von 5% (Fehlalarm-Risiko) und einem beta von 5% (Risiko fürs Nicht-Entdecken zu schlechter Qualität/zu hoher Ausschuss) lässt sich ausrechnen, wie viele Teile für eine sichere Aussage geprüft werden müssen. Das sind n=23.

Heißt also unterm Strich: Du brauchst n=23 Einzelwerte, um eine sichere Entscheidung für diesen Prozess mit Mittelwer 1,301 und Standardabweichung 0,0208 treffen zu können. Ob Du diese 23 Messwerte aus 1 Auftrag mit 100 Teilen oder aus einer Tages-/Wochen-/Monats-/Jahres-Produktion nimmst, entscheidest Du anhand der Risikobewertung.

Viele Grüße

Barbara

PS: „Barbaraische“ Formeln find ich gut [:D] Tatsächlich sind das nicht „meine“ Formeln, sondern nur die Fundstücke aus diversen Büchern. Eine wirklich richtig gute Zusammenstellung von Formeln für den Stichprobenumfang findest Du in
Mathews, Paul: Sample Size Calculations : Practical Methods for Engineers and Scientists.
Fairport Harbor: Mathews Malnar and Bailey, 2010. Englisch. -ISBN 978-0-615-32461-6. S. 1-338, EUR 43,30, URL http://www.mmbstatistical.com/SampleSize.html

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Eine gute wissenschaftliche Theorie sollte einer Bardame erklärbar sein.
(Ernest Rutherford, Physiker)

mikala
Teilnehmer

3. Februar 2014 um 12:11 Uhr

Beitragsanzahl: 3

#62453

Hallo Barbara,

vielen lieben Dank für die ausführlicher Erklärung.
Ich denke mal das ich zumindest das meisten verstanden habe :-)

Der Wert 0,25mm war von mir einfach mal nur zum rechnen ausgesucht geworden.

Eigentlich dachte ich es müsste ja ausreichen eine Verschiebung der Mittellage in Richtung der kritischen Toleranz zu erkennen.

Also im meinem Beispiel.

1,27 Sollmaß:
0,125 Toleranz oben
-0,125 Toleranz unten
1,301 Median:
0,0208 s:
1,51 Cpk:
4 Stichproben:
5,00% alpha: maximal tolerierbares Risiko für einen Fehlalarm (aus Risiko-Abschätzung), 5%=Cpk1,00 ;
5,00% beta: maximal tolerierbares Risiko für Nicht-Entdecken einer Veränderung
1,33 Anforderung Cpk; Mindest Cpk der Abgesichert werden soll

0,011 Zulässige Mittelwertverschiebung anhand Mittellage zur Toleranzgrenze und Soll Cpk
Da: 1,27+0,125-=1,395-1,301/4*s
also 0,094 -0,083=0,011

Wenn ich damit die Mittellagenverschiebung berechne komme ich aber auf N=48
n>=( ( z_(1-alpha/2) + z_(1-beta) )²*(s/delta )²
n = 48,20

Das scheint dann aber nicht zu gehen.

Wie hast du den die N=24 genau berechnet?
Kannst du mir die Funktion geben?
Kennst du auch ein gutes Buch in deutsch? Mein Denglisch ist… überholungsbedürftig

Vielen Dank

Gruß

Thomas

evereve99
Teilnehmer

4. Februar 2014 um 18:01 Uhr

Beitragsanzahl: 1038

#62454

Off Topic:

@Mikala:

quote:

Ich muss allerdings dazu sagen, dass meine Statistikkenntnisse nicht über die einen einfachen QSler hinaus gehen.

Nu mal keine falsche Bescheidenheit. Im Vergleich mit dir dürfte ich dann nicht mal die Laderampe fegen.. [8)]

Gruß

Evereve99

„Hast Du die ganzen Ausrufezeichen bemerkt? Fünf? Ein sicheres Zeichen für jemanden, der seine Unterhose auf dem Kopf trägt.“
– TERRY PRATCHETT, MUMMENSCHANZ

Barbara
Senior Moderator

25. Februar 2014 um 10:30 Uhr

Beitragsanzahl: 2766

#62471

Hallo Thomas,

bitte entschuldige meine späte Antwort; im Moment ist hier gerade ein bisschen arg viel Arbeit auf meinem Schreibtisch.

quote:

Ursprünglich veröffentlicht von mikala

Eigentlich dachte ich es müsste ja ausreichen eine Verschiebung der Mittellage in Richtung der kritischen Toleranz zu erkennen.

Ja, das ist eine Möglichkeit den Stichprobenumfang auszurechnen, und zwar die „konservative Variante“. Du hast damit eine höhere Absicherung (=höherer Stichprobenumfang), weil Du Dich auf die kritische Seite (Abweichung nach oben) konzentrierst. Damit errechnet sich ein Stichprobenumfang von n=48 (bzw. n=47 mit dem 1z-Test in Minitab, Grund: vermutlich Rechengenauigkeit/Rundungsgenauigkeit).

Die andere Variante ist eine Absicherung des Schlecht-Anteils bzw. ppm-Werts. Dabei wird etwas anders gerechnet, weil die Ausschussrate nach oben relativ schnell größer wird und nach unten noch deutlich mehr Luft ist. Hier ergibt sich bei 3,10ppm (AQL / aktuelle ppm-Rate) und 63,34ppm (LQ / maximale ppm-Rate für Cpk=1,33) ein Stichprobenumfang von n=23 für alpha=5% und beta=5%, wenn Du die Standardabweichung als belastbaren Wert für den Prozess angibst (so genannte „historische Standardabweichung“ bzw. tatsächlicher Wert der Standardabweichung im Prozess).

Die aktuelle ppm-Rate ist berechnet aus Mittelwert 1,301, Standardabweichung 0,208, UTG=1,145 und OTG=1,395, z. B. über Excel-Funktion NORM.VERT (oder für Excel 2007 und früher NORMVERT):
ppm.unten = NORM.VERT(UTG;Mittelwert;Standardabweichung;1)*10^6 = 3,19e-08
ppm.oben = (1-NORM.VERT(OTG;Mittelwert;Standardabweichung;1))*10^6 = 3,10
ppm = ppm.unten + ppm-oben = 0 + 3,10 = 3,10

Die maximal mögliche ppm-Rate für Cpk=1,33 ist 63,34, wenn der Prozess exakt in der Mitte läuft und die Toleranzgrenzen jeweils bei Mittelwert +/- 4*Standardabweichung liegen:
ppm.unten = NORM.VERT(-4;0;1;1)*10^6 = 31,67
ppm.oben = (1-NORM.VERT(4;0;1;1))*10^6 = 31,67
ppm = ppm.unten + ppm-oben = 63,34

Die n=23 werden dann schrittweise ermittelt, sprich: es gibt keine einzeilige Formel sondern einen Rechenweg, bei dem unterschiedliche Werte eingesetzt werden. Nach jedem Einsetzen wird geprüft, ob die Anforderungen eingehalten sind. Wenn ja, ist der Stichprobenumfang gefunden. Wenn nein, wird der nächste Wert eingesetzt. Genau hierfür sind Statistik-Programme schick, die diese iterative Berechnung per Knopfdruck vornehmen [:)]

Wenn Du jetzt allerdings weißt, dass die Standardabweichung S=0,0208 nicht unbedingt die tatsächliche Prozess-Standardabweichung ist, sondern nur auf Basis einer kleineren Stichprobe berechnet wurde, dann brauchst Du für die Absicherung mehr Informationen = mehr Messwerte und dann funktionieren auch die n=48 nicht ausreichend gut, denn auch in dieser Formel nimmst Du an, dass S=0,0208 der tatsächliche Wert der Prozess-Standardabweichung ist.

Mit denselben Vorgaben wie oben für die ppm-Werte und der Angabe, dass es keinen belastbaren Wert für die Standardabweichung gibt, werden n=224 Werte für eine sichere Aussage benötigt.

Ein gutes Buch auf deutsch zu Stichprobenumfängen kenne ich leider nicht. Ein bisschen was zu diesen Berechnungen findet sich im Hartung (Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, ISBN 9783486590289) im Kapitel „Qualitätskontrolle“. So richtig einfach bzw. verständlich ist dieser Abschnitt nicht geschrieben und berücksichtigt auch nicht direkt die Frage, wie aus Prozess-Kennzahlen ein Stichprobenumfang wird. Du kannst ja mal in einer größeren Bibliothek in der Nähe in das Buch schauen, ob Dich das weiterbringt. Ansonsten kenne ich nur die englischen Bücher, in denen das zumindest angerissen wird.

Ich hoffe die Antwort klärt zumindest Deine Fragen, wie aus den Kennzahlen ein Stichprobenumfang wird. Gerechnet habe ich die Zahlen übrigens mit Minitab R16 und der Funktion „Annahmestichprobenprüfung nach Variablen > Erstellen/Vergleich“.

Viele Grüße

Barbara

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Eine gute wissenschaftliche Theorie sollte einer Bardame erklärbar sein.
(Ernest Rutherford, Physiker)
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