Faltung von zwei Verteilungen

[monacon]

#22516

Hallo liebe Forumsgemeinde,

kurz vor Weihnachten nochmal eine kurze mathematische Frage.

Gegeben sei ein Prozess der ein Objekt mit einer gewissen (bekannten) Standardabweichung positioniert.

Ein Teil in diesem Prozess ist ein Sensor dessen Schaltunsicherheit bekannt ist. Auch die Standardabweichung dieser Schaltunsicherheit.

Wenn diese Schaltunsicherheit verändert wird (Größer oder kleiner!) wie kann ich die Auswirkung auf die Gesamtpositioniergenauigkeit berechnen? Im Grunde genommen ist die Gesamtpositioniergenauigkeit das Ergebniss einer Faltung der Schaltgenauigkeit und der restlichen Positioniergenauigkeit des Systems.

Aber da hört es bei mir auf – wie kann ich es praktisch berechnen? Bitte um Hilfe.

Gruß

monacon

[Systemmanager]

#44527

Hi!

Wenn beide Verteilungen NV sind, dann wird sich der Mittelwert der Verteilung vom (Objekt)Prozess um die Standardabweichung deines Sensors nach links und nach recht verschieben. Also eine einfache Mittelwertverschiebung um „s“ des Sensors

Systemmanager :-)

[monacon]

#44530

Hm,

das verstehe ich nicht. Wieso soll sich ein Mittelwert verschieben? Der Mittelwert der Prozesstreuung sollte konstant bleiben, da nur die Standardabweichung eines Teilprozesses zu oder abnimmt. Am Ende sollte auch die Standardabweichung des Gesamtprozesses abnehmen, aber um wieviel?

Ich stelle mir folgene gleichung vor

S_gesamt(neu) = s_gesamt(alt) + delta s_Sensor*irgendein Faktor

Nur was ist dieser Faktor?

grüße

Monacon

[Systemmanager]

#44532

Hi!

Überlegung: Wenn du den Sensor auf der linken Seite seiner Streuung, also z. B: -3s „festnagelst“, dann wird sich die Protessstreuung (Objekt) von hier aus nach rechts entsprechend der NV ausbreiten.
Das andere Ende ist nach z.B. 6 s am rechten Ende der Prozessverteilung zu finden.

Nun bewegst du deinen Sensor an das rechte Ende seiner Verteilung.

Die Prozessverteilung wird in unveränderter Breite (also ohne Zunahme von s) nach rechts verschoben.

Lässt du nun die Verteilung deines Sensors zufällig streuen, so wird die Gesantverteilung um die Standardabweichung deines Sensors breiter.

Systemmanager :-)

geändert von – systemmanager on 20/12/2006 14:41:05

geändert von – systemmanager on 20/12/2006 14:41:59

[monacon]

#44539

Hallo Systemmanger,

ich kann Deine Überlegung nachvollziehen, aber ohne es mathematisch beweisen zu können weiss ich, dass das falsch ist. Die Streuung neu ist nicht Streuung alt + Delta Streuung Sensor.

Du kannst ja auch nicht zwei beliebige Prozessschritte nehmen deren Streuung bekannt ist und dann ssagen die Gesamtstreuung dieser beiden Schritte wäre die Summe der beiden Streuungen. Es ist eine Faltung.

Das ist ein Untegral über das Produkt der beiden Verteilungsgleichungen über den gesamten Wertebereich. Aber das überfordert mich um ehrlich zu sein. ich weiß halt nicht ob es möglicherweise für normalverteilungen irgendwelche Faustformeln oder ähnliches gibt.

Gruß monacon

[Barbara]

#44541

Hallo zusammen,

gehen wir mal davon aus, dass die beiden Prozess-Ergebnisse Positioniergenauigkeit und Schaltunsicherheit normalverteilt sind, dann ist die Mischung aus beiden Prozessen auch normalverteilt.

Vielleicht sind die Verteilungen so ähnlich, dass Du insgesamt mit einer Normalverteilung hinkommst. (Prüf einfach auf Normalverteilung.) Ansonsten brauchst Du die gemischte Verteilung von zwei Normalverteilungen, die wieder eine Normalverteilung ist.

Verteilungen:
Positioniergenauigkeit: NV(xq1,S1)
Schaltunsicherheit: NV(xq2,S2)

Gemischte Verteilung von beiden ist dann wieder eine Normalverteilung mit den Parameter:
xq = a*xq1 + (1-a)*xq2
S^2 = a(xq1^2+S1^2)+(1-a)*(xq2^2+S2^2)
– (a*xq1 + (1-a)*xq2)^2

a ist dabei ein Anteilswert, d. h. a gibt an, wie groß der Anteil der Positionier-Verteilung und wie groß der Anteil der Schalt-Verteilung an den Messwerten ist.

Das blöde ist nur, dass es keine netten Formeln zur Bestimmung von a, xq1, xq2, S1 und S2 gibt, sondern die über einen Algorithmus (EM z. B.) bestimmt werden müssen. Details findest Du z. B. im Buch von Groß, Jürgen [2001]: A normal distribution course, ISBN 3-631-52934-1, S. 132ff.

Viele Grüße

Barbara

_____________________________________

Statistiken sind mit Vorsicht zu genießen und mit Verstand einzusetzen.
(Carl Hahn, ehem. VW AG)

geändert von – Barbara on 20/12/2006 17:05:54

[monacon]

#44544

Hallo barbara,

danke auf jeden Fall schonmal, das hilft sehr viel!

Ich habe noch folgendes gefunden, kann ich das hier anwenden?

Die Faltung zweier Normalverteilungen ergibt wieder eine Faltung mit:

Tges=sqrt(sqr(T1)+sqr(T2))
mit:
T=Halbwertsbreite
ges=Gesamtprozess
1= Schritt 1
2= Schritt 2

und dazu noch T=2,35*Sigma bei normalverteilungen.

Damit könnte ich mir mein Gesamtsigma auch ausrechnen. Ist das zulässig?

Gruß

monacon

[Systemmanager]

#44550

Hi!

@ Barbara:
Ich habe deine Erörterung nachvollzogen (nicht bis zur letzten Konsequenz) und finde eigentlich keinen Wiederspruch zur praktischen Anwendung, wie ich sie erörtert habe.

Ich wollte den scheinbaren Widerspruch nicht gerne so stehen lassen, oder sieht du das anders?

Systemmanager :-)

[monacon]

#44555

Hm,

noch was Barbara, bei Deiner Formel für das s. Muss das auf der linken Seite nicht s^2 heissen? Oder die rechte Seite unter eine Wurzel?

Und bei konstantem Mittelwert und a=0,5 läuft das auf meine Gleichung hinaus so weit ich das sehe, oder?

Gruß

monacon

[Barbara]

#44557

Hallo zusammen,

@monacon: da fehlte ein ^2, hab ich gerade geändert.

Wenn Ihr davon ausgeht, dass die beiden Verteilungen gleich stark in den Messwerten vertreten sind, d. h. a=0,5 ist, und die beiden Verteilungen um 0 herum streuen (d. h. xq1=xq2=0) dann ist
Sges^2=0,5*(S1^2+S2^2)
bzw.
Sges = Wurzel ( 0,5*(S1^2+S2^2) )

@Systemmanager: Von der Idee her hast Du das schon richtig beschrieben, nur die Rechnung stimmt eben durch einfache Addition nicht.

Ein Beispiel:
S1^2=0,2
S2^2=0,5
(a=0,5, xq1=xq2=0 wie oben)

S1^2+S2^2=0,7
und
Sges = Wurzel ( 0,5*(S1^2+S2^2) )
= Wurzel ( 0,35 ) = 0,5916

(Insbesondere ist Sges = 0,5916 <> S1+S2 = 0,7.)

Die Halbwertsbreite ist bei der „normalen“ Normalverteilung 2,35*Sigma und weil hier die Mittelwerte von beiden Verteilungen xq1=xq2 gleich sind und a=0,5 ist, gibt es auch keine zwei-gipflige Verteilung. (2,35 = 2*Wurzel(2*ln(2))).

Über die Abschätzung mit 2,35*Sges ergibt sich als Halbwertsbreite FWHM:
FWHM = 2,35 * 0,5916 = 1,3903

Ich hoffe, das klärt die Fragen.

Viele Grüße

Barbara

_____________________________________

Statistiken sind mit Vorsicht zu genießen und mit Verstand einzusetzen.
(Carl Hahn, ehem. VW AG)

[monacon]

#44559

Hallo Barbara,

ich glaube in Deiner Rechnung ist jetzt ein Fehler.

Ein Beispiel:
S1^2=0,2

-> also S1 = 0,44

S2^2=0,5

-> also S2 = 0,71

(a=0,5, xq1=xq2=0 wie oben)

S1^2+S2^2=0,7
und
Sges = Wurzel ( 0,5*(S1^2+S2^2) )
= Wurzel ( 0,35 ) = 0,5916

damit Sges < S2 ?

Das kann doch nicht sein, bin verwirrt bitte um aufklärung.

Wenn ich nochmal diese Überlegung nehme:

Tges=sqrt(sqr(T1)+sqr(T2))
mit:
T=Halbwertsbreite
ges=Gesamtprozess
1= Schritt 1
2= Schritt 2

und dazu noch T=2,35*Sigma bei normalverteilungen.

Damit könnte ich mir mein Gesamtsigma auch ausrechnen. Ist das zulässig?

Käme ich auf Sges=wurzel(s1^2+s2^2) = 0,83

wäre das nicht richtiger? Es ist etwas größer als s1 (0,71) aber halt nicht s1+s2 was 1,15 wäre.

Monacon

[Barbara]

#44561

Hallo monacon,

nee, das stimmt schon so. Du hast die Gesamt-Streuung aus den beiden Einzel-Streuungen gemixt und dadurch liegt sie zwischen S1 und S2. (Sges ist eben genau keine Summe der Einzel-Streuungen.)

Deine Idee mit der Halbwertsbreite verwirrt mich wiederum etwas: Wie willst Du die ausrechnen, wenn Du das Sges gar nicht hast? Ich versteh die Rechnung nicht bzw. ich weiß nicht, woher Du die T-Formel hast.

Viele Grüße

Barbara

_____________________________________

Statistiken sind mit Vorsicht zu genießen und mit Verstand einzusetzen.
(Carl Hahn, ehem. VW AG)

[monacon]

#44567

HmHm,

entweder habe ich einen massiven Denkfehler oder wir reden aneinander vorbei. Ich versuche mich präziser auszudrücken.

Ich habe einen Positionierprozess für ein Objekt mit einer gewissen Positionierungenauigkeit Sges. Der Positionierprozess selbst wird durch einen Sensor gestartet der eine Erfassungsunsicherheit S2 hat.
Ich kenne Sges und S2. S2 ist derzeit in Sges enthalten.

Erste Frage wäre: Wie kannich S1 berechnen also nur die Positionierungenauigkeit ohne die Erfassungsgenauigeit des Sensors? Und wie kann ich dann ein Sges berechnen mit einem veränderten S2. Und da die Prozesse seriell aufeinander aufbauen muss ich meinen Augen Sges immer größer sein als S1 und S2 (nicht die Summe sondern größer als jeder der beiden Werte).

Mein Gefühl ist, dass Deine Formel eher die Situation beschreibt, dass ich zwei Prozesse habe, die dasselbe Ergebnis erzeugen. Beispiel: Ich habe zwei Bohrmaschinen die jeweils ein Loch in ein Bauteil bohren. Die Bauteile wandern am Ende alle in dieselbe Kiste. Ich kenne xquer und s für jede Bohrmaschine und möchte gerne s und xquer für alle Bauteile in der Kiste berechnen. Da habe ich das Gefühl würde ich Deine Formel nehmen.

Zu meiner Berechnung:

Ich hatte folgende Überlegung. Meine beiden Prozesse lassen sich durch zwei normalverteilte Funktionen mit xquer und s beschreiben. xquer interessiert mich erstmal nicht (kann ich einstellen). Aber diese beiden Funktionen sind hintereinander, also multipliziert. Eine multiplikation von zwei normalverteilungen ist eine Faltung: Zum Thema Faltung von Normalverteilungen bei Wikipedia:

http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Invarianz_gegen.C3.BCber_Faltung

da habe ich auch die Formal für die Halbwertsbreite her. Und mit HWB=2,35*S

Kann ich die Formal genauso für S aufstellen und könnte damit meine oben gesuchten Werte berechnen wie einige Posts vorher beschrieben.

So, was meinst Du zu meinen Überlegungen Barbara, hilf mir meinen Knoten zu entwirren.

Gruß

Robert

P.S. Fehler korrigiert..:-)

geändert von – monacon on 21/12/2006 13:06:53

[hackilein]

#44568

OT:
bei wirren konten würde ich zum siemens- vorstand gehen, die helfen bestimmt ;)
scnr

ich verabschiede mich hiermit in meinen weihnachtsurlaub und wünsche allen einen feißigen weihnachtsmann, geruhsame tage
und einen guten rutsch!

euer hacki

„das ist ein walversprechen. das muß man nicht halten!“ käpt’n blaubär, der weiseste bär des universums

[evereve99]

#44570

ebenfalls OT:

Dann schönen Urlaub, Hackilein.

„wirre Konten“ ist schön, aber ich persönlich finde „Barbare“ im gleichen Satz noch schöner…..=-))

Gruß

Evereve99

„Seht ihn an den Dichter
Trinkt er, wird er schlichter
Ach, schon fällt ihm gar kein Reim
auf das Reimwort „Reim“ mehr eim.“

Robert Gernhardt
(In Memoriam)

[Autor]

Beiträge